最近开始看标度相对论。
一个很有意思的理论,被人称为最有可能的四个物理理论之一(另外三个,一个是超弦,一个是量子圈,还有一个是非对易几何。可惜我学校没有研究量子圈的……)。
最早的一篇论文是法国人完成的。从运动的相对性原理出发可以得到狭义相对论,那么从标度的相对性原理出发能得到什么呢?这就是他的动机。
此外,物理中频繁出现的重整化群给了一个暗示:时空应该是具有标度相对性的(这个是理解重整化的一个方法)。
在考试标度相对论以前,我们先要知道一下“标度”是什么。
运动的相对论中,几个变量很明确,就是空间坐标,那么标度先对论中呢?
首先我们要寻找一个和“速度”对应的标度量。我们注意到,在Galileo情况下,速度合成有:W=U+V。同样的,对于坐标有这么个关系:X2/X0=(X1/X0)×(X2/X1)。因而我们可以取标度速度为:Y/X。其中X与Y是坐标缩放前后的某个长度。因而,标度速度其实说明的就是两个坐标的缩放比(Ratio)。为了更好地定义,我们取R=ln(dY/dX)。这里d表示的差分而非微分。从而,现在我们有了Galileo形的标度变换率:R2=R1+R0。
可见,如果说运动的相对论说的是两个坐标系相对运动下的变换规则,那么标度的相对论说的就是两个坐标系相对缩放下的变换规则。
从时空的Poincare对称性出发,辅以坐标变换群应该是线性的这点(这个可以用Maxwell电磁理论具有Lorentz规范得来),我们可以得到时空坐标变换的Lorentz群,而且这个变换群是唯一的——当然,还留有一个可变参量,就是光速。光速为无穷的时候,Lorentz群就是Galileo群。
同样的,我们应该也能得到标度的Lorentz变换群。我们已经有了速度R,但是还缺“坐标”变量。
由于标度是无量纲的,因而显然坐标变量也不能有量纲,因而普通的坐标是不能使用的。但是坐标上的场却可以是标量且无量纲的。因而这里的两个“坐标”变量就是两类不同的场。
我们先看,在坐标缩放前后,什么东西会跟着变?自然某尺度相对一特征尺度的比了。因而这可以是一个标量场,可以称为“标量长度”。同时,这个场的变化率和前面定义的标量速度之间存在一个比,这个可以定义为另一个标量场,而且可以定义为“标量时间”。
因而,有了“标量长度”和“标量时间”,我们就可以讨论在标量速度下的标量Lorentz变换了。
我们先继续假定标量Lorentz变换群也是线性群,那么其形式应该与相对论中的Lorentz变换群相同。这样,也就存在一个特征“标量速度”了,作用等于C。这个特征标量速度对应的就是一个特征尺度L。
这种标量Lorentz变换与相对论Lorentz变换一样,在特征尺度L以上的长度,在变换后依然在L以上;反之,在L以下的长度经过变换后也还是在L以下。
同时,我们在量子力学中知道,时空在Planck长度以上是连续,但是在Planck以下则不是,时空拓扑是“泡沫状”的(这是由已逝的物理学家惠勒发现并命名的——量子泡沫)。在我们告诉运动中,Planck长度是否发生变化呢?
我们可以激进地认为,不发生变化。那么就得到一个特殊的长度:Planck长度。它在坐标变化前后是不变的。这样,我们就可以把Planck长度视为标度相对论中的那个特征尺度。
在这个尺度下,时空的结构是非连续的。同时,由于标度变换率,我们很容易得到一个论点:随着我们不断地放大坐标,总有新的内容出现(这个从我写的这些中看不大出来,要看原文才有感觉)。这个性质正是分形的特性。
同时,从重整化群的角度来说,它现在是个半群,如果我们要将其拓展为一个完备的群,那么我们自然要得到这么一点:在标度变换下我们可以从一个尺度得到另一个尺度的全部信息——这就是分形的自相似性。
进一步,我们来考虑粒子运动问题。
由Heisenberg不确定原理,我们可以知道,我们检测粒子的“分辨率”越小,那么粒子的动量不确定就越大,从而我们最有检测到的粒子运动轨迹的长度不确定度就越大。
也就是说:我们看得越细,那么粒子运动轨迹越长。
这不就是著名的“英国海岸线问题”吗?
在时间上也是如此。我们用越小的时间间隔去看一个粒子的寿命,那么按照现在的量子场论与标准模型观点,我们将看到的是一个裸粒子与很多云虚粒子对。这些虚粒子对是有正粒子与反粒子构成的,而按照Dirac的观点,反粒子是逆时间而动的正粒子,因而事实上我们可以认为我们看到的粒子云是一个粒子不断反复在时间上正向逆向行驶的结果。
从而,我们用的时间间隔越短,那么看到的粒子寿命就越长。
这也是分形的特征。
从而,我们可以得到一个观点:时空在Planck尺度以下,是分形结构的。
我就看到这里。
写的时候顺序与原文略有不同。
原文是Laurent Nottale写的《The Theory Of Scale Relativity》
作者是CNRS宇宙学与天文学系的教授。
简介中说,这个方法可以很恰当地导出重整化群,从而解释量子场论中为什么会有重整化操作,以及一些量子反常。同时,这篇文章也算是很自然地融合了相对论与量子力学的一种尝试。不过他得到重整化群的方法中用的是Galileo群。在以后的文章中应该会用Lorentz群的。