弯曲时空的加速度问题总算搞定了

到今天（我的生理意义上的今天，从现实意义上说，应该是昨天了）位置，弯曲时空中的加速度的定义问题总算被搞定了。

最后的结果是：完全就是Landau书上的形式，至于能不能化到《微分几何入门与广义相对论》中的形式现在还没去证明，不过从过去我的众多计算看来，是不可能化过去了——除非发生了重大的理解错误，不过这种情况应该是不可能发生的。

最后还是得到了俞允强的《广义相对论引论》的帮助，从联络的几何意义入手，得到了加速度的完整定义：

按照观者世界线可以将时空进行3+1分解，分解为时间和空间。时间上的投影算符为观者固有速度的协变形式与逆变形式的缩并，空间上的投影算符为混合度规与时间投影算符的和（之所以是和，因为这里度规的时时分量为一个负数——这个是时间的特性）。这样，我们就能把被观测的物体的世界线投影到观者的瞬时空间上了。投影后的世界线上可以定义出物体在观者瞬间时间的速度，和该时刻后的瞬间的速度。容易证明该速度的空间分量与用观者时间为衡量的物体速度的空间分量是完全相等的，而物体以观者时间为衡量的速度与其固有速度相差一个Lorentz因子。因而，便得到了物体的速度。不过，这还不是最关键的。最关键的就是在这里要定义一个合理的物理的微分操作。由于现在对象限定在观者的瞬间空间超曲面上，因而可以用超曲面上的自然度规——也就是时空度规在该超曲面上的诱导度规——来获得矢量平移所依赖的联络，这个联络便可以作用在“下一个瞬间的物体速度矢量”上，从而构造一个合理的微分操作，从而也就构造出了加速度——这个是构造加速度的关键。

这个微分既不是该空间上的协变微分，也不是该空间上的普通微分，而是一种混合的微分，但确实合理的物理的——后者是最关键的。

概念理解了以后，后面的工作就是一顿狂算了，没什么技术含量。最后得到的结果很简洁，也不用写成Landau的旋量叉乘的形式，就是时空克氏符与空间克氏符的作用差，便构成了物体所受到的引力。在Schwarzschild度规中该引力与物体的径向速度无关，这个结论很有趣，因为它完全解决了“引力转斥力”的可能，不过，同时它却体现出了和“等效原理”不同的结果，因为等效原理中存在“引力转斥力”的情况（虽然系数和我原本的计算结果是完全不同的）。

总之，现在概念是完全理解了，后面的事情也就简单了——当然了，这段时间还要继续看看这个理解是否还有问题，别像我一开始一样还是有问题，那就恶搞了。

随后的工作嘛，就是把上次的结果度规场中的计算用新的加速度的定义再重算一次——那又是要吓死人的工作。

 

今天听说LJ要出国了，已经和德国方面联系好了，去读博士。听得心痒痒的。而同时，今天做了很多很无聊的事情。具体什么事情就不说了，反正很无聊……